Atividade 250735 - Wa - Ads - Sem 1 - Unidade 2 - Fundamentos de Lógica e Matemática Discreta Período 07/03/11 00:00 à 09/07/11 23:59

Web Aula 1

Tema: Conjuntos

As relações apresentadas nesta aula já foram estudadas no Ensino Médio, portanto o que nos propomos no momento é recapitular alguns pontos básicos do estudo dos conjuntos.

Vamos iniciar com a definição de conjunto, a notação adequada para representar conjuntos e elementos e também as possíveis maneiras de se representação

Então vamos começar?

Não há um consenso a respeito da definição de conjunto. O que apresento é uma possibilidade de definição:

• Idéia intuitiva de “coleção” ou “totalidade” de objetos.
• Esses objetos são denominados elementos.

Devemos representar conjuntos e elementos da seguinte forma:

CONJUNTOS - Letras maiúsculas: A, B, C, D...

ELEMENTOS - Letras minúsculas: a, b, c, d ...

Quando queremos dizer se um determinado elemento pertence ou não pertence a um conjunto devemos utilizar a seguinte notação:

• F: conjunto de filósofos.
• s: Sócrates
• Sócrates é um filósofo.

s F (o elemento s pertence ao conjunto F)

• Sócrates não é um filósofo.

s F (o elemento s não pertence ao conjunto F)

A relação que se estabelece entre elementos e conjuntos é chamada de relação de pertinência.

Lembre-se, a relação de pertinência se dá entre elemento e conjunto

Como representar um conjunto?

Podemos representar um conjunto das seguintes maneiras:

• Enumeração ou extensão: Listagem de todos os elementos do conjunto.
• Descrição ou compreensão: Propriedade comum aos elementos do conjunto que permite estabelecer se um elemento pertence ou não ao conjunto.

Exemplos:

• P: conjunto de números pares
• Enumeração: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}
• Descrição: {x|x é número par}
• S: conjunto dos planetas que formam o sistema solar
• Enumeração:{Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
• Descrição:{x|x é planeta do sistema solar}

Evidentemente, quando o conjunto possui muitos elementos é mais conveniente que façamos sua representação por descrição ou compreensão e quando se trata de um conjunto com poucos elementos, a enumeração permite melhor visualização.

Imagine se você tivesse que representar o conjunto formado por todos os alunos que estudam Análise e Desenvolvimento de Sistemas da UNOPAR?

Seria mais adequado que o fizesse por descrição, pois seria uma tarefa cansativa fazer a enumeração de todos os alunos desse curso.

Agora vamos aplicar um pouco do que vimos até aqui.

Exercícios:

Represente os conjuntos enumerados por descrição:

• S:{segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
• P:{1,3,5,7,9,11,13,15...}
• Q:{quadrado, triângulo, retângulo, círculo...}
• C:{verde, amarelo, azul, branco} Relações entre Conjuntos
  Nós já vimos acima a relação de pertinência, que se estabelece entre elemento e conjunto. Agora vamos ver a relação de inclusão, que se dá entre conjuntos.
  • Inclusão: se cada elemento do conjunto A for também elemento de outro conjunto B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B.
  
  
  
  
  • Quando A e B têm exatamente os mesmos elementos, eles são o mesmo conjunto: A = B
  Para essa relação, valem todas essas propriedades:
  

  Operações com Conjuntos

  São várias as operações que podemos fazer envolvendo conjuntos. Vamos focar nossa atenção nas principais.
  União de Conjuntos:
  

  Exemplo:

  Intersecção de Conjuntos

  
  

  Exemplo:

  A = {0,1,2,3,4} B = {1,3,5,7} A ∩ B = {1, 3}

  Diferença de Conjuntos
  

  A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,8} A – B = {1, 3, 5}

  
  
  Vamos novamente aplicar os conhecimentos desenvolvidos até agora no exercício a seguir:
  Com base no diagrama, calcule:

  Aplicação em Problemas

  Os problemas envolvendo operações com conjunto não são difíceis de resolver. Entretanto é necessário acompanhar o raciocínio para compreender os passos da resolução. E é isso que vamos fazer agora. Leia atentamente o problema e acompanhe a resolução:
• Num curso com 630 alunos, 350 deles estudam matemática, 210 estudam lógica e 90 deles estudam as duas matérias.
• Quantos alunos estudam apenas matemática?
• Quantos alunos estudam apenas lógica?
• Quantos alunos estudam matemática ou lógica?
• Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? Resolução:
  1. Primeiro de tudo, vamos montar os conjuntos para cada matéria. Então temos o conjunto de alunos que estudam matemática, que chamaremos de M, e o conjunto de alunos que estudam lógica, que chamaremos de L, assim:
  
  
  
  2. Agora não podemos nos esquecer que existem alunos que estudam as duas matérias, matemática e lógica, portanto pertencem ao conjunto M e também ao conjunto L. Dessa forma eles devem ser colocados na intersecção:
  
  
  
  3. Depois de colocar os elementos da intersecção, vamos colocar os elementos de M e L. Começando por M: o enunciado nos diz que são 350 alunos que estudam matemática, ou seja, o conjunto M deve ter exatamente 350 elementos. Mas não podemos nos esquecer que já colocamos nesse conjunto 90 elementos (que são os da intersecção). Atenção: se esses elementos estão na intersecção, é porque fazem parte de M e já foram colocados nesse conjunto, de forma que precisam ser retirados do total de 350. Ficamos então com 350 menos 90 = 260
  4. O mesmo raciocínio seguimos para o conjunto L. São 210 alunos que estudam lógica, mas na intersecção já colocamos 90. Se esses 90 pertencem à intersecção, pertencem também ao conjunto L, portanto precisam ser tirados dos 210. Ficamos então com 210 menos 90 = 120
  
  
  
  5. Agora fica fácil responder as questões. Na primeira: quantos alunos estudam apenas matemática? Se vamos contar os alunos que estudam apenas matemática, os que estão na intersecção não podem ser contados, pois eles estudam lógica também. Então temos 260 alunos que estudam apenas matemática.
  6. Para a segunda questão, o raciocínio é o mesmo. Se queremos responder quantos alunos estudam apenas lógica, não podemos considerar os da intersecção, pois estes estudam matemática também. Então temos 120 alunos que estudam apenas lógica.
  7. Na terceira questão, precisamos prestar atenção no conectivo ou. Ele define a operação de união entre conjuntos. Como já vimos, na união consideramos tanto os elementos que pertencem a M como os que pertencem a L. Os que estão na intersecção também precisam ser considerados, pois pertencem aos dois conjuntos. Dessa forma temos 260 que pertencem a M mais 120 que pertencem a L e mais 90 que estão na intersecção, num total de 470.
  8. Para a última questão, precisamos retornar ao enunciado do problema que nos diz que este curso possui 630 alunos. Bom, se o total são 630 e 470 estudam matemática ou lógica é fácil descobrir quantos não estudam essas matérias. 630 menos 470 = 160 alunos.
  Atividade no fórum:
  Agora que você já viu como podemos resolver um problema envolvendo conjuntos, vamos ver na prática como você vai se sair. Resolva o problema abaixo e faça a postagem no fórum, apontando os resultados que você encontrou bem como o raciocínio que você seguiu para resolvê-lo.
  Atenção: nesse problema aparecem três conjuntos, então podemos ter intersecção entre os três ou entre dois. Em qualquer caso, vale o mesmo raciocínio do problema anterior.

  Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha 400 leram Helena 300 leram Senhora 200 leram A Moreninha e Helena 150 leram A Moreninha e Senhora 100 leram Senhora e Helena 20 leram as três obras

  
  

  Calcule:

  O número de pessoas que leu apenas uma das três obras.
  O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
  O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
  
  

  Aprofundando o conhecimento:

  Toda a matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos, assim, a noção de conjuntos é muito relevante pois é a partir dela que todos os conceitos matemáticos podem ser expressos. É também a mais simples das idéias matemáticas.
  A linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentação da matemática, ganhou esta posição porque permite dar aos conceitos e às  proposições desta ciência a precisão e a generalidade que constituem sua característica básica.
  Web aula 2
  Tema: A representação do pensamento
  Durante muito tempo, estudar lógica significava aprender regras formuladas por Aristóteles para distinguir bons e maus argumentos. No entanto, podemos substituir essa análise pelo uso de alguns diagramas simples, relacionados com as proposições categóricas das quais tratou Aristóteles. A partir de tais diagramas, por inspeção direta, podemos avaliar a legitimidade de um argumento. Essa aula vai estudar esses diagramas.
  
  

  Diagramas de Eüler

  Por volta de 1770, o matemático suíço Leonhard Eüler, recorreu ao uso de alguns diagramas para representar as premissas e a conclusão dos argumentos, visando facilitar a compreensão das regras da boa argumentação. Veja o esquema:
  Figura 9
  A: conjunto dos possuidores da propriedade a
  x: possui a propriedade a
  y: não possui a propriedade a
  Temos então os seguintes diagramas, correspondendo às quatro proposições básicas:

  PROPOSIÇÃO	DIAGRAMA DE EÜLER
  Todo a é b
  Nenhum a é b
  Algum a é b (ou Existe a que é b)
  Algum a não é b (ou Existe a que não é b)

  
  
  Vamos ver alguns exemplos¹:

  1º Exemplo: “Todos os patos nadam” P: conjunto de patos N: conjunto dos seres que nadam
  2º Exemplo: “Alguns gorilas nadam.” (ou “Existem gorilas que nadam.”) G: conjunto dos gorilas N: conjunto dos seres que nadam
  3º Exemplo: “Nenhum gato nada.” G: conjunto dos gatos N: conjunto dos seres que nadam
  4º Exemplo: “Alguns homens não nadam.” H: conjunto de homens N: conjunto de seres que nadam
  5º Exemplo: “Todos os países exportadores de petróleo são ricos.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  6º Exemplo: “Todos os países ricos são exportadores de petróleo.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  7º Exemplo: “Existem países ricos que não são exportadores de petróleo.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  8º Exemplo: “Existem países ricos que são exportadores de petróleo.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  9º Exemplo: “Nenhum país exportador de petróleo é pobre.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo P: conjunto dos países pobres

  
  

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  ¹Os exemplos foram baseados em MACHADO e DA CUNHA (2005)Para praticar:

  1) O diagrama ao lado representa os seguintes conjuntos: Figura 23 A: conjunto dos caranguejos B: conjunto dos crustáceos Suponhamos verdadeira a seguinte proposição:“Todos os caranguejos são crustáeos.” A partir da premissa considerada, verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:

  (1) Nenhum caranguejo é crustáceo.
  (2) Alguns caranguejos não são crustáceos.
  Agora vamos analisar:
  A primeira proposição é falsa, pois pelo diagrama podemos ver que o conjunto de caranguejos está inteiro contido no conjunto de crustáceos, então todo elemento que pertence ao conjunto A (conjunto de caranguejos) pertence também ao conjunto B (conjunto dos crustáceos).
  A segunda proposição também é falsa pois não temos elementos do conjunto A (de caranguejos) fora do conjunto B (de crustáceoas). Então todo caranguejo é crustáceo.

  2) Considere agora os seguintes conjuntos: H:conjunto de habitantes do Brasil B: conjunto dos brasileiros Suponhamos verdadeiras as seguintes proposições, de acordo com os diagramas: “Existem brasileiros que não moram no Brasil.” “Existem habitantes do Brasil que não são brasileiros.” A partir das premissas dadas, verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:

  (1) Nem todos os brasileiros moram no Brasil.
  (2) Todos os habitantes do Brasil são brasileiros.
  Agora vamos analisar:
  A primeira proposição é verdadeira, pois, pelos diagramas, podemos notar que existem brasileiros que não são habitantes do Brasil. Essa afirmação é equivalente à premissa "Existem brasileiros que não moram no Brasil".
  Já a proposição dois é falsa, uma vez que podemos perceber pelos diagramas que existem habitantes do Brasil que não são brasileiros. Argumentos e diagramas
  Podemos utilizar diagramas como os de Eüler como um recurso na avaliação de um argumento. Os diagramas nos possibilitam o reconhecimento de uma argumentação válida ou de um sofisma, mas devemos ter atenção para ver se a representação dos diagramas correspondem ao que as premissas afirmam. Vamos estudar alguns casos:

  ARGUMENTO 1: Todos os paulistas são brasileiros. João é paulista. Logo, João é brasileiro. ARGUMENTO VÁLIDO
  ARGUMENTO 2: Todos os paulistas são brasileiros. Kelvin não é paulista. Logo, Kelvin não é brasileiro. SOFISMA: Kelvin pode ser ou não brasileiro. No caso de ele ser mineiro, por exemplo, teríamos as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
  ARGUMENTO 3: Existem brasileiros que são famosos. Todas as pessoas famosas são chatas. Logo, existem brasileiros que são chatos. ARGUMENTO VÁLIDO: observe que não estamos afirmando que as premissas são, necessariamente, verdadeiras, mas apenas que, se elas forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.
  ARGUMENTO 4: Nenhum garimpeiro é atleta. Todos os atletas são saudáveis. Logo, nenhum garimpeiro é saudável. SOFISMA: o diagrama nos mostra que é possível termos duas simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa.
  ARGUMENTO 5: Todos os tubarões são antropófagos. Existem índios que são antropófagos. Logo, existem índios que são tubarões. SOFISMA: pelo diagrama podemos perceber que é possível satisfazer as condições enunciadas nas premissas e a falsidade da conclusão.

  
  Atividade de fórum:
  Agora que você já viu as possibilidades de análise de argumentos por meio dos diagramas de Eüler, analise os argumentos a seguir, construindo os diagramas em cada caso, e verifique se eles são válidos ou não.
  Não se esqueça, poste seus comentários e conclusões no fórum para debate, assim você pode discutir se suas conclusões estão adequadas, compartilhar conhecimento com os demais, além de aprender também.
  1. Todos os alemães são europeus.
     Richard não era alemão.
     Logo, Bacon não era europeu.
  
  
  
  2. Todo caranguejo é crustáceo.
     João não é caranguejo.
     Logo, João não é crustáceo.
  
  
  
  3. Como existem livros que são verdes e existem coisas verdes que são comestíveis, existem livros que são comestíveis.
  
  
  
  4. Sabemos que quem tem princípios morais nunca se embriaga. Ora, o papa nunca se embriaga; logo o papa tem princípios morais.
  
  
  
  5. Nenhum brasileiro é europeu.
     Nenhum europeu é sul-americano.
     Logo, nenhum brasleiro é sul-americano.
  
  
  
  6. Nenhum índio tem bigode.
     Todos os caetés são índios.
     Logo, nenhum caeté tem bigode.
  
  
  
  7. Alguns escritores são chatos.
     Todos os escritores são alfabetizados.
     Logo, alguns chatos são alfabetizados.
  
  
  
  8. Não existem capitalistas pobres.
     Todos os mendigos são pobres.
     Logo, não existem mendigos capitalistas.Aprofundando o conhecimento:
     Por volta de 1880, Venn, um matemático inglês, aperfeiçoou os diagramas já utilizados anteriormente por Eüler, representando conjuntos, sempre por círculos entrelaçados. Nesse tipo de representação, uma região com os sinais “-“ não tem elementos, enquanto que uma região com sinal “+” é não-vazia, isto é, tem elementos. Temos as seguintes correspondências com as proposições básicas:
     Na maioria das vezes em que diagramas são utilizados na prática, os de Eüler é que são lembrados, entretanto o nome mais frequente atribuído a eles é diagramas de Venn. Tecnicamente, podemos considerar os diagramas de Venn um aperfeiçoamento dos diagramas de Eüler, entretando a representação de Eüler é muito mais compreensível do que a de Venn.

     Todo a é b
     Nenhum a é b
     Algum a é b
     Algum a não é b

     
     
     
     

     Bibliografia:

     MACHADO, N.J.; DA CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, comunicação, argumentação. Coleção Tendências em Educação Matemática, Autêntica, 2005.