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Atividade 250735 - Wa - Ads - Sem 1 - Unidade 2 - Fundamentos de Lógica e Matemática Discreta Período 07/03/11 00:00 à 09/07/11 23:59

Web Aula 1

Tema: Conjuntos

As relações apresentadas nesta aula já foram estudadas no Ensino Médio, portanto o que nos propomos no momento é recapitular alguns pontos básicos do estudo dos conjuntos.

Vamos iniciar com a definição de conjunto, a notação adequada para representar conjuntos e elementos e também as possíveis maneiras de se representação

Então vamos começar?

Não há um consenso a respeito da definição de conjunto. O que apresento é uma possibilidade de definição:

• Idéia intuitiva de “coleção” ou “totalidade” de objetos.
• Esses objetos são denominados elementos.

Devemos representar conjuntos e elementos da seguinte forma:

CONJUNTOS - Letras maiúsculas: A, B, C, D...

ELEMENTOS - Letras minúsculas: a, b, c, d ...

Quando queremos dizer se um determinado elemento pertence ou não pertence a um conjunto devemos utilizar a seguinte notação:

• F: conjunto de filósofos.
• s: Sócrates
• Sócrates é um filósofo.

s F (o elemento s pertence ao conjunto F)

• Sócrates não é um filósofo.

s F (o elemento s não pertence ao conjunto F)

A relação que se estabelece entre elementos e conjuntos é chamada de relação de pertinência.

Lembre-se, a relação de pertinência se dá entre elemento e conjunto

Como representar um conjunto?

Podemos representar um conjunto das seguintes maneiras:

• Enumeração ou extensão: Listagem de todos os elementos do conjunto.
• Descrição ou compreensão: Propriedade comum aos elementos do conjunto que permite estabelecer se um elemento pertence ou não ao conjunto.

Exemplos:

• P: conjunto de números pares
• Enumeração: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}
• Descrição: {x|x é número par}
• S: conjunto dos planetas que formam o sistema solar
• Enumeração:{Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
• Descrição:{x|x é planeta do sistema solar}

Evidentemente, quando o conjunto possui muitos elementos é mais conveniente que façamos sua representação por descrição ou compreensão e quando se trata de um conjunto com poucos elementos, a enumeração permite melhor visualização.

Imagine se você tivesse que representar o conjunto formado por todos os alunos que estudam Análise e Desenvolvimento de Sistemas da UNOPAR?

Seria mais adequado que o fizesse por descrição, pois seria uma tarefa cansativa fazer a enumeração de todos os alunos desse curso.

Agora vamos aplicar um pouco do que vimos até aqui.

Exercícios:

Represente os conjuntos enumerados por descrição:

• S:{segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
• P:{1,3,5,7,9,11,13,15...}
• Q:{quadrado, triângulo, retângulo, círculo...}
• C:{verde, amarelo, azul, branco} Relações entre Conjuntos
  Nós já vimos acima a relação de pertinência, que se estabelece entre elemento e conjunto. Agora vamos ver a relação de inclusão, que se dá entre conjuntos.
  • Inclusão: se cada elemento do conjunto A for também elemento de outro conjunto B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B.
  
  
  
  
  • Quando A e B têm exatamente os mesmos elementos, eles são o mesmo conjunto: A = B
  Para essa relação, valem todas essas propriedades:
  

  Operações com Conjuntos

  São várias as operações que podemos fazer envolvendo conjuntos. Vamos focar nossa atenção nas principais.
  União de Conjuntos:
  

  Exemplo:

  Intersecção de Conjuntos

  
  

  Exemplo:

  A = {0,1,2,3,4} B = {1,3,5,7} A ∩ B = {1, 3}

  Diferença de Conjuntos
  

  A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,8} A – B = {1, 3, 5}

  
  
  Vamos novamente aplicar os conhecimentos desenvolvidos até agora no exercício a seguir:
  Com base no diagrama, calcule:

  Aplicação em Problemas

  Os problemas envolvendo operações com conjunto não são difíceis de resolver. Entretanto é necessário acompanhar o raciocínio para compreender os passos da resolução. E é isso que vamos fazer agora. Leia atentamente o problema e acompanhe a resolução:
• Num curso com 630 alunos, 350 deles estudam matemática, 210 estudam lógica e 90 deles estudam as duas matérias.
• Quantos alunos estudam apenas matemática?
• Quantos alunos estudam apenas lógica?
• Quantos alunos estudam matemática ou lógica?
• Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? Resolução:
  1. Primeiro de tudo, vamos montar os conjuntos para cada matéria. Então temos o conjunto de alunos que estudam matemática, que chamaremos de M, e o conjunto de alunos que estudam lógica, que chamaremos de L, assim:
  
  
  
  2. Agora não podemos nos esquecer que existem alunos que estudam as duas matérias, matemática e lógica, portanto pertencem ao conjunto M e também ao conjunto L. Dessa forma eles devem ser colocados na intersecção:
  
  
  
  3. Depois de colocar os elementos da intersecção, vamos colocar os elementos de M e L. Começando por M: o enunciado nos diz que são 350 alunos que estudam matemática, ou seja, o conjunto M deve ter exatamente 350 elementos. Mas não podemos nos esquecer que já colocamos nesse conjunto 90 elementos (que são os da intersecção). Atenção: se esses elementos estão na intersecção, é porque fazem parte de M e já foram colocados nesse conjunto, de forma que precisam ser retirados do total de 350. Ficamos então com 350 menos 90 = 260
  4. O mesmo raciocínio seguimos para o conjunto L. São 210 alunos que estudam lógica, mas na intersecção já colocamos 90. Se esses 90 pertencem à intersecção, pertencem também ao conjunto L, portanto precisam ser tirados dos 210. Ficamos então com 210 menos 90 = 120
  
  
  
  5. Agora fica fácil responder as questões. Na primeira: quantos alunos estudam apenas matemática? Se vamos contar os alunos que estudam apenas matemática, os que estão na intersecção não podem ser contados, pois eles estudam lógica também. Então temos 260 alunos que estudam apenas matemática.
  6. Para a segunda questão, o raciocínio é o mesmo. Se queremos responder quantos alunos estudam apenas lógica, não podemos considerar os da intersecção, pois estes estudam matemática também. Então temos 120 alunos que estudam apenas lógica.
  7. Na terceira questão, precisamos prestar atenção no conectivo ou. Ele define a operação de união entre conjuntos. Como já vimos, na união consideramos tanto os elementos que pertencem a M como os que pertencem a L. Os que estão na intersecção também precisam ser considerados, pois pertencem aos dois conjuntos. Dessa forma temos 260 que pertencem a M mais 120 que pertencem a L e mais 90 que estão na intersecção, num total de 470.
  8. Para a última questão, precisamos retornar ao enunciado do problema que nos diz que este curso possui 630 alunos. Bom, se o total são 630 e 470 estudam matemática ou lógica é fácil descobrir quantos não estudam essas matérias. 630 menos 470 = 160 alunos.
  Atividade no fórum:
  Agora que você já viu como podemos resolver um problema envolvendo conjuntos, vamos ver na prática como você vai se sair. Resolva o problema abaixo e faça a postagem no fórum, apontando os resultados que você encontrou bem como o raciocínio que você seguiu para resolvê-lo.
  Atenção: nesse problema aparecem três conjuntos, então podemos ter intersecção entre os três ou entre dois. Em qualquer caso, vale o mesmo raciocínio do problema anterior.

  Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha 400 leram Helena 300 leram Senhora 200 leram A Moreninha e Helena 150 leram A Moreninha e Senhora 100 leram Senhora e Helena 20 leram as três obras

  
  

  Calcule:

  O número de pessoas que leu apenas uma das três obras.
  O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
  O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
  
  

  Aprofundando o conhecimento:

  Toda a matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos, assim, a noção de conjuntos é muito relevante pois é a partir dela que todos os conceitos matemáticos podem ser expressos. É também a mais simples das idéias matemáticas.
  A linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentação da matemática, ganhou esta posição porque permite dar aos conceitos e às  proposições desta ciência a precisão e a generalidade que constituem sua característica básica.
  Web aula 2
  Tema: A representação do pensamento
  Durante muito tempo, estudar lógica significava aprender regras formuladas por Aristóteles para distinguir bons e maus argumentos. No entanto, podemos substituir essa análise pelo uso de alguns diagramas simples, relacionados com as proposições categóricas das quais tratou Aristóteles. A partir de tais diagramas, por inspeção direta, podemos avaliar a legitimidade de um argumento. Essa aula vai estudar esses diagramas.
  
  

  Diagramas de Eüler

  Por volta de 1770, o matemático suíço Leonhard Eüler, recorreu ao uso de alguns diagramas para representar as premissas e a conclusão dos argumentos, visando facilitar a compreensão das regras da boa argumentação. Veja o esquema:
  Figura 9
  A: conjunto dos possuidores da propriedade a
  x: possui a propriedade a
  y: não possui a propriedade a
  Temos então os seguintes diagramas, correspondendo às quatro proposições básicas:

  PROPOSIÇÃO	DIAGRAMA DE EÜLER
  Todo a é b
  Nenhum a é b
  Algum a é b (ou Existe a que é b)
  Algum a não é b (ou Existe a que não é b)

  
  
  Vamos ver alguns exemplos¹:

  1º Exemplo: “Todos os patos nadam” P: conjunto de patos N: conjunto dos seres que nadam
  2º Exemplo: “Alguns gorilas nadam.” (ou “Existem gorilas que nadam.”) G: conjunto dos gorilas N: conjunto dos seres que nadam
  3º Exemplo: “Nenhum gato nada.” G: conjunto dos gatos N: conjunto dos seres que nadam
  4º Exemplo: “Alguns homens não nadam.” H: conjunto de homens N: conjunto de seres que nadam
  5º Exemplo: “Todos os países exportadores de petróleo são ricos.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  6º Exemplo: “Todos os países ricos são exportadores de petróleo.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  7º Exemplo: “Existem países ricos que não são exportadores de petróleo.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  8º Exemplo: “Existem países ricos que são exportadores de petróleo.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo R: conjunto dos países ricos
  9º Exemplo: “Nenhum país exportador de petróleo é pobre.” E: conjunto dos países exportadores de petróleo P: conjunto dos países pobres

  
  

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  ¹Os exemplos foram baseados em MACHADO e DA CUNHA (2005)Para praticar:

  1) O diagrama ao lado representa os seguintes conjuntos: Figura 23 A: conjunto dos caranguejos B: conjunto dos crustáceos Suponhamos verdadeira a seguinte proposição:“Todos os caranguejos são crustáeos.” A partir da premissa considerada, verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:

  (1) Nenhum caranguejo é crustáceo.
  (2) Alguns caranguejos não são crustáceos.
  Agora vamos analisar:
  A primeira proposição é falsa, pois pelo diagrama podemos ver que o conjunto de caranguejos está inteiro contido no conjunto de crustáceos, então todo elemento que pertence ao conjunto A (conjunto de caranguejos) pertence também ao conjunto B (conjunto dos crustáceos).
  A segunda proposição também é falsa pois não temos elementos do conjunto A (de caranguejos) fora do conjunto B (de crustáceoas). Então todo caranguejo é crustáceo.

  2) Considere agora os seguintes conjuntos: H:conjunto de habitantes do Brasil B: conjunto dos brasileiros Suponhamos verdadeiras as seguintes proposições, de acordo com os diagramas: “Existem brasileiros que não moram no Brasil.” “Existem habitantes do Brasil que não são brasileiros.” A partir das premissas dadas, verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:

  (1) Nem todos os brasileiros moram no Brasil.
  (2) Todos os habitantes do Brasil são brasileiros.
  Agora vamos analisar:
  A primeira proposição é verdadeira, pois, pelos diagramas, podemos notar que existem brasileiros que não são habitantes do Brasil. Essa afirmação é equivalente à premissa "Existem brasileiros que não moram no Brasil".
  Já a proposição dois é falsa, uma vez que podemos perceber pelos diagramas que existem habitantes do Brasil que não são brasileiros. Argumentos e diagramas
  Podemos utilizar diagramas como os de Eüler como um recurso na avaliação de um argumento. Os diagramas nos possibilitam o reconhecimento de uma argumentação válida ou de um sofisma, mas devemos ter atenção para ver se a representação dos diagramas correspondem ao que as premissas afirmam. Vamos estudar alguns casos:

  ARGUMENTO 1: Todos os paulistas são brasileiros. João é paulista. Logo, João é brasileiro. ARGUMENTO VÁLIDO
  ARGUMENTO 2: Todos os paulistas são brasileiros. Kelvin não é paulista. Logo, Kelvin não é brasileiro. SOFISMA: Kelvin pode ser ou não brasileiro. No caso de ele ser mineiro, por exemplo, teríamos as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
  ARGUMENTO 3: Existem brasileiros que são famosos. Todas as pessoas famosas são chatas. Logo, existem brasileiros que são chatos. ARGUMENTO VÁLIDO: observe que não estamos afirmando que as premissas são, necessariamente, verdadeiras, mas apenas que, se elas forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.
  ARGUMENTO 4: Nenhum garimpeiro é atleta. Todos os atletas são saudáveis. Logo, nenhum garimpeiro é saudável. SOFISMA: o diagrama nos mostra que é possível termos duas simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa.
  ARGUMENTO 5: Todos os tubarões são antropófagos. Existem índios que são antropófagos. Logo, existem índios que são tubarões. SOFISMA: pelo diagrama podemos perceber que é possível satisfazer as condições enunciadas nas premissas e a falsidade da conclusão.

  
  Atividade de fórum:
  Agora que você já viu as possibilidades de análise de argumentos por meio dos diagramas de Eüler, analise os argumentos a seguir, construindo os diagramas em cada caso, e verifique se eles são válidos ou não.
  Não se esqueça, poste seus comentários e conclusões no fórum para debate, assim você pode discutir se suas conclusões estão adequadas, compartilhar conhecimento com os demais, além de aprender também.
  1. Todos os alemães são europeus.
     Richard não era alemão.
     Logo, Bacon não era europeu.
  
  
  
  2. Todo caranguejo é crustáceo.
     João não é caranguejo.
     Logo, João não é crustáceo.
  
  
  
  3. Como existem livros que são verdes e existem coisas verdes que são comestíveis, existem livros que são comestíveis.
  
  
  
  4. Sabemos que quem tem princípios morais nunca se embriaga. Ora, o papa nunca se embriaga; logo o papa tem princípios morais.
  
  
  
  5. Nenhum brasileiro é europeu.
     Nenhum europeu é sul-americano.
     Logo, nenhum brasleiro é sul-americano.
  
  
  
  6. Nenhum índio tem bigode.
     Todos os caetés são índios.
     Logo, nenhum caeté tem bigode.
  
  
  
  7. Alguns escritores são chatos.
     Todos os escritores são alfabetizados.
     Logo, alguns chatos são alfabetizados.
  
  
  
  8. Não existem capitalistas pobres.
     Todos os mendigos são pobres.
     Logo, não existem mendigos capitalistas.Aprofundando o conhecimento:
     Por volta de 1880, Venn, um matemático inglês, aperfeiçoou os diagramas já utilizados anteriormente por Eüler, representando conjuntos, sempre por círculos entrelaçados. Nesse tipo de representação, uma região com os sinais “-“ não tem elementos, enquanto que uma região com sinal “+” é não-vazia, isto é, tem elementos. Temos as seguintes correspondências com as proposições básicas:
     Na maioria das vezes em que diagramas são utilizados na prática, os de Eüler é que são lembrados, entretanto o nome mais frequente atribuído a eles é diagramas de Venn. Tecnicamente, podemos considerar os diagramas de Venn um aperfeiçoamento dos diagramas de Eüler, entretando a representação de Eüler é muito mais compreensível do que a de Venn.

     Todo a é b
     Nenhum a é b
     Algum a é b
     Algum a não é b

     
     
     
     

     Bibliografia:

     MACHADO, N.J.; DA CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, comunicação, argumentação. Coleção Tendências em Educação Matemática, Autêntica, 2005.

Atividade 250734 - Wa - Ads - Sem 1 - Unidade 1 - Fundamentos de Lógica e Matemática Discreta Período 07/03/11 00:00 à 09/07/11 23:59

Visão geral
	Apresentação da disciplina:
	A disciplina visa abordar o estudo dos princípios e fundamentos da lógica clássica, como o cálculo proporcional, as proposições, as principais operações lógicas e argumentos válidos; e alguns tópicos da matemática discreta, como a álgebra dos conjuntos, as principais operações com conjuntos e as relações entre álgebra de conjuntos e a álgebra de proposições. São discutidos os fundamentos teóricos e também a aplicação em exercícios.
	Objetivo da Disciplina
	Apresentar uma introdução ao estudo da lógica clássica. Expor os principais conceitos da lógica clássica. Transitar entre a linguagem usual e a linguagem lógica, utilizando os símbolos adequados. Construir tabelas-verdade. Compreender as equivalências lógicas principais. Compreender a relação entre a álgebra dos conjuntos e a álgebra das proposições.
	Conteúdo Programático:
	Classificação da Lógica. Introdução à Lógica Clássica. Desafios lógicos e tipos de problemas. Conceito de proposição. Princípios fundamentais da lógica clássica. Conectivos lógicos. Valores lógicos das proposições. Uso da linguagem lógica. Construção de tabelas-verdade. Tautologias, contigências e contradições. Resolução de problemas utilizando a tabela-verdade. Equivalência lógicas principais utilizando a tabela-verdade. Principais operações envolvendo conjuntos. Relação entre álgebra dos conjuntos e álgebra das proposições.
	Metodologia:
	Os conteúdos programáticos ofertados nessa disciplina serão desenvolvidos por meio das Tele-Aula de forma expositiva e interativa (chat – tira dúvidas em tempo real), Aula Atividade por Chat para aprofundamento e reflexão e Web Aulas que estarão disponíveis no Ambiente Colaborar, compostas de conteúdos de aprofundamento, reflexão e atividades de aplicação dos conteúdos e avaliação. Serão também realizadas atividades de acompanhamento tutorial, participação em Fórum, atividades práticas e estudos independentes (auto estudo) além do Material do Impresso por disciplina.
	Avaliação Prevista:
	O sistema de avaliação da disciplina compreende em assistir a tele-aula, participação no fórum, produção de texto/trabalho no portfólio, realização de duas avaliações virtuais, uma avaliação presencial embasada em todo o material didático, tele-aulas e webaula da disciplina.

Web Aula 1¹

Tema: Argumentação

Neste primeiro contato, ou seja, nessa primeira undidade, vamos analisar alguns tópicos introdutórios do estudo da lógica, que visa complementar e contribuir os assuntos já abordados nas teleaulas.

Muitas vezes as pessoas pensam que estudar lógica é uma tarefa muito difícil, mas vamos perceber que a lógica está presente em nosso cotidiano e que ela é necessária para estruturarmos nossos pensamentos de forma coerente e transmiti-los de maneira clara e compreensível.

Os objetivos fundamentais do estudo da Lógica são basicamente a busca pela argumentação, pela compreensão das nossas próprias razões e das razões alheias e as tomadas de posição diante dos acontecimentos e as escolhas.

Aprofundando o conhecimento: Um pouco de história...

A lógica teve sua origem como disciplina com Aristóteles, entre 300 e 400 anos antes de Cristo. Com Aristóteles teve início a caracterização das formas legítimas de argumentação, em contraposição a outras formas que pareciam corretas, mas que eram inadequadas (as falácias).

Aristóteles 384-322 a. C.

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¹© Eliane Maria Oliveira Araman, UNOPAR, 2009.

Seu ponto de partida para esses estudos foi a estrutura da língua grega e a pressuposição de que precedendo uma argumentação coerente encontra-se o uso adequado das palavras e das frases, de modo a evitar as ambigüidades e incertzas. De acordo com sua próprias palavras, um argumento se configura por “uma série de palavras em que, sendo admitidas certas coisas, delas resultará necessariamente alguma outra, pela simples razão de se terem admitido as primeiras”.

Seus trabalhos foram posteriormente reunidos em uma obra denominada Organon.

Na lógica aristotélica há uma delimitação entre a forma e o conteúdo de uma argumentação. Como assim? Os conteúdos das sentenças que fazem parte de um argumento não são considerados, mas apenas a forma como estão articulados ou o modo como umas são deduzidas das outras.

Veja esse exemplo:

Se me garantem que Todo homem é feliz e que Djalma é um homem, logo posso concluir que Djalma é feliz, e essa conclusão depende apenas da forma da argumentação. É como se eu dissesse: Todo a é b e que x é a. Disso podemos concluir que x é b, independentemente do que significa a, b ou x.

Aristóteles tratou apenas das formas adequadas de argumentação, por isso seus estudos são conhecidos como Lógica Formal. Por meio desses estudos, Aristóteles procurou explicar leis ou regras que garantam uma argumetação adequada e competente.

Na língua corrente usual, normalmante não separamos o conteúdos das sentenças. De modo geral, em nosso cotidiano, misturamos forma com conteúdo, mas para um estudo introdutório de lógica vamos observar a distinção entre as formas legítimas de argumentação das quenão são aceitáveis, independentemente de conhecermos ou não a verdade das sentenças envolvidas.

Frases e argumentos

Quantas vezes você já utilizou a expressão “é lógico” quando estava conversando a respeito de diversos assuntos, como futebol, sua marca de refrigerante preferida, sobre economia ou política?

Na maioria das vezes, a expressão “é lógico” é utilizada por nós quando queremos nos referir a algo que nos parece evidentemente certo ou muito fácil de ser defendido. Como por exemplo:

“É lógico que o Brasil vai ser campeão.”

“É lógico que um avião custa mais que uma bicicleta.”

“É lógico que a Terra não é plana.”

Após usarmos uma frase desse tipo, é comum aparecer uma série de razões que procuram sustentar a CONCLUSÃO, proferida na afirmação inicial. Esse encadeamento de razões que conduzem à conclusão pode ser considerado um ARGUMENTO. As razões expressas são as PREMISSAS do argumento.

Veja esse exemplo¹:

“É lógico que Juvenal será aprovado no concurso, pois ele é inteligente e estuda muito e todos as pessoas inteligentes e estudiosas são aprovadas.”

Temos, nesse caso, o seguinte argumento:

CONCLUSÃO:	Juvenal será aprovado.
RAZÕES (PREMISSAS):	Juvenal é inteligente.
	Juvenal é estudioso.
	Todas as pessoas inteligentes e estudiosas são aprovadas.

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¹Os exemplos utilizados foram adaptados de MACHADO (2005).

Podemos concluir: um ARGUMENTO é constituído de uma ou mais PREMISSAS e de uma CONCLUSÃO.

Enquanto conversamos na linguagem corrente, a conclusão de um argumento pode serenunciada primeiramente, como no nosso exemplo, em seguida são enunciadas as premissas. Mas também pode ocorrer de outra forma, com as premissas aparecendo primeiro e a conclusão surgindo logo após.

Veja mais esse exemplo:

“Como a gasolina é extraída do petróleo, que é importado, e todos os produtos importados são caros, a gasolina é cara.”

Temos, nesse caso, o argumento a seguir:

PREMISSAS	A gasolina é extraída do petróleo.
	O petróleo é importado.
	Todos os produtos impostados são caros.
CONCLUSÃO	A gasolina é cara.

Também pode ocorrer que a conclusão seja enunciada entre as premissas, como nesse outro exemplo:

“Romilda é médica. Logo, Romilda estudou em uma faculdade pois todos os médicos estudaram em faculdades.”

PREMISSAS	Romilda é médica.
	Todos os médicos estudaram em faculdades.
CONCLUSÃO	Romilda estudou em uma faculdade.

Uma das primeiras preocupações que devemos ter ao iniciarmos os estudos de lógica é aprender a diferenciar um argumento de fato de um mero agrupamento de frases. Para isso, vamos analisar algumas frases abaixo:

1	Começou a chover. Há pouco, o sol estava brilhando. A meteorologia não previu chuva alguma.
2	Amanhã deverá fazer sol porque o serviço de meteorologia previu uma chuva e ele sempre erra em suas previsões.
3	Joaquim é português. Ele é dono da padaria do bairro, que fabrica dez mil pães por dia.
4	Joaquim não é português pois ele nasceu no Brasil e quem nasce no Brasil é brasileiro.
5	Penso muito na minha vida.
6	Se penso, logo existo.

As frases que correspondem aos números pares são argumentos, enquanto que as correspondentes aos números ímpares são apenas uma coleção de frases que não caracterizam um argumento. Não é difícil distinguir, nos argumentos, a conclusão das premissas. Por exemplo, na frase dois a conclusão é que “Amanhã deverá fazer sol”; na frase quatro, a conclusão é “Joaquim não é português”; e na seis temos como conclusão “Existo”.

Para saber mais:

Vamos praticar um pouco. Para isso, nos argumentos a seguir, indique quais são as premissas e qual é a conclusão de cada argumento:

1	É lógico que o time A é o melhor do atual campeonato uma vez que tal time tem o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número de pontos ganhos.
2	O ônibus da escola deverá chegar atrasado amanhã porque a meteorologia prevê muitas chuvas para amanhã cedo e sempre que chove muito, o ônibus chega atrasado.
3	O café não é um produto importado; portanto não deveria ser caro, uma vez que todos os produtos importados é que são caros.
4	Como nenhum réptil voa e as serpentes são répteis, as serpentes não voam.
5	Todos os alemães são europeus;logo existem europeus que são alemães.
6	Sabe-se que todas as coisas verdes têm clorofila. Como alguns automóveis são verdes, podemos concluir que alguns automóveis têm clorofila.

Atividade no fórum:

Outro aspecto dos estudos da lógica são os que envolvem a resolução de problemas. Existem vários problemas de lógica de vários níveis de dificuldade, mas que são muito divertidos. Apresento abaixo dois desafios que para serem resolvidos não é necessário nenhum conhecimento prévio de matemática, apenas o raciocínio lógico mesmo.

Para acessar os jogos, clique nos anexos "Desafio dos Sapinhos" e "Desafio dos Canibais". O jogo vai se abrir e você pode jogar à vontade. Veja se consegue resolver os desafios e faça a postagem no fórum de como você conseguiu resolvê-los.

Para saber mais:

Existem na internet muitos desafios lógicos que você pode acessar. O mais famoso de todos é o desafio de Einstein. Você encontra esse desafio com uma animação que facilita a solução no site abaixo. Acesse e confira!

http://www.profcardy.com/desafios/aplicativos.php?id=11

Bibliografia:

MACHADO, N.J.; DA CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, comunicação, argumentação. Coleção Tendências em Educação Matemática, Autêntica, 2005.

Web Aula 2

Tema: Argumentação e verdade

Nesta aula, nós daremos continuidade aos assuntos que começamos a abordar na web aula anterior, quando vimos como se dá a construção de um argumento. Agora, porém, vamos analisar a verdade ou a falsidade de um argumento.

Então vamos começar. Em nosso dia-a-dia usamos muitas frases que podem ser consideradas falsas ou verdadeiras, como nos exemplo a seguir:

VERDADEIRAS: “Um ano tem doze meses.” “Três vezes dois é igual a seis.” “Quito é a capital do Equador.”

FALSAS: “Uma semana tem doze dias.” “Dois mais dois é igual a cinco.” “La Paz é a capital da Argentina.”

Entretanto, existem muitas outras frases que não podem ser classificadas dessa forma:

“Hoje vai chover?”

“Não faça isso.”

Dessas observações podemos concluir: uma frase que pode ser classificada como VERDADEIRA ou FALSA, não podendo ser as duas coisas ao mesmo tempo, é chamada de PROPOSIÇÃO.

Nem todas as frases que dizemos são consideradas proposições. Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser considerada verdadeira ou falsa. De modo geral, apenas frases declarativas podem ser assim consideradas.

Quando decidimos defender uma conclusão em uma argumetação é porque tal conclusão é uma proposição e pretendemos que ela seja verdadeira. Para fazer essa defesa, encadeamos uma série de razões, chamadas premissas, que fundamentam a conclusão, permitindo que o argumento seja construído.

Quando fazemos um argumento bem construído, as premissas devem evidenciar razões suficientes para que aceitemos a conclusão. Em um argumento mal construído, mesmo que a conclusão seja verdadeira, as premissas não são razões suficientes para garanti-la.

Agora, quando entre as premissas e a conclusão existe uma ligação de tal forma que é impossível termos, simultaneamente, as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento é bem construído e podemos considerá-lo VÁLIDO ou COERENTE.

Entretanto, quando é possível termos todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, podemos considerar que o argumento não é bem construído e dizemos que ele NÃO É VALIDO, ou NÃO É COERENTE, ou ainda que é uma FALÁCIA ou um SOFISMA.

Vamos agora analisar alguns exemplos:

ARGUMENTO COERENTE

PREMISSAS	Todos os cariocas são brasileiros.
	José é carioca.
CONCLUSÃO	José é brasileiro.

Nesse exemplo podemos notar que sendo as duas premissas verdadeiras simultaneamente, segue-se inevitavelmente, a verdade da conclusão. Dessa forma, é impossível termos as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

ARGUMENTO NÃO COERENTE

PREMISSAS	Todos os cariocas são brasileiros.
	José não é carioca.
CONCLUSÃO	José não é brasileiro.

Nesse caso, as premissas não são suficientes para garantirem a conclusão.

É possível que termos as duas premissas verdadeiras e a conclusão falsa, com por exemplo se José fosse mineiro.

Mas também poderia ocorre de José ser alemão e isso nos daria uma conclusão verdadeira, mas ainda assim o argumento não seria válido, pois a verdade da conclusão não seria cosequência da verdade das premissas.

Vamos relembrar o que estudamos até aqui:

• Nem toda frase ou sentença que usamos na linguagem corrente é uma proposição.
• Para ser uma proposição é necessário que exista a possibilidade de ser classificada como verdadeira ou falsa, não podendo haver uma terceira opção, nem a possibilidade de ser considerada ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
• Um argumento é uma construção cujos elementos são proposições, em que existe uma conclusão que é sustentada por uma ou mais premissas.
• Argumentar significa garantir a verdade da conclusão tendo por base a verdade das premissas.
• Um argumento não pode ser considerado verdadeiro ou falso. Verdadeiras ou falsas são as premissas e a conclusão. Um argumento é válido ou não válido, coerente ou não coerente, dependendo da relação que se estabelece entre as premissas e a conclusão.

Argumentação e verdade

Quando construímos um argumento, nossa intenção é justificar a verdade da conclusão a partir da verdade das premissas. Então encontramos duas condições necessárias para garantir a verdade de uma conclusão: a verdade das premissas e um argumento coerente.

Se ao menos uma das premissas for falsa, mesmo o argumento estando construído de forma coerente, não podemos garantir a verdade da conclusão. Ainda se partirmos de premissas verdadeiras e recorremos a uma argumentação não coerente, a verdade da conclusão não pode ser garantida.

Vamos analisar algumas situações²:

1) Partir de PREMISSAS FALSAS;

usar um SOFISMA;

e chegar a uma CONCLUSÃO FALSA.

Exemplo: Existem cubanos que são europeus. (F) Existem mexicanos que são cubanos. (F) Logo, existem mexicanos que são europeus.(F)

2) Partir de PREMISSAS FALSAS;

usar um SOFISMA;

e chegar a uma CONCLUSÃO VERDADEIRA.

Exemplo: Existem cubanos que falam espanhol.(V) Existem mexicanos que são cubanos.(F) Logo, existem mexicanos que falam espanhol. (V)

3) Partir de PREMISSAS FALSAS;

usar um ARGUMENTO COERENTE;

e chegar a uma CONCLUSÃO FALSA.

Exemplo: Todo cubano é europeu.(F) Todo mexicano é cubano. (F) Logo, todo mexicano é europeu. (F)

4) Partir de PREMISSAS FALSAS;

usar um ARGUMENTO VÁLIDO;

e chegar a uma CONCLUSÃO VERDADEIRA.

Exemplo: Todos os cubanos falam inglês. (F) Existem americanos que são cubanos. (F) Logo, existem americanos que falam inglês. (V)

5) Partir de PREMISSAS VERDADEIRAS;

usar um SOFISMA;

e chegar a uma CONCLUSÃO FALSA.

Exemplo: Alguns automóveis são verdes. (V) Algumas coisas verdes são comestíveis. (V) Logo, alguns automóveis são comestíveis. (F)

6) Partir de PREMISSAS VERDADEIRAS;

usar um SOFISMA;

e chegar a uma CONCLUSÃO VERDADEIRA.

Exemplo: Alguns brasileiros são ricos. (V) Alguns ricos são desonestos. (V) Logo, alguns brasileiros são desonestos. (V)

7) Partir de PREMISSAS VERDADEIRAS;

usar um ARGUMENTO VÁLIDO;

e chegar a uma CONCLUSÃO VERDADEIRA.

Exemplo: Todo pernambucano é brasileiro.(V) Todo recifense é pernambucano.(V) Logo, todo recifense é brasileiro. (V)

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²Os exemplos apresentados foram retirados de MACHADO; DA CUNHA(2005)

Como pudemos perceber, partindo de premissas verdadeiras, um argumento válido nunca conduz a uma conclusão falsa e é isso que garante a confiabilidade nos resultados da ciência. Resumindo, para termos a garantia de que uma conclusão é verdadeira, temos que observar dois aspectos: as premissas devem ser verdadeiras e o argumento deve ser coerente.

Aprofundando o conhecimento:

Agora vamos aplicar um pouco do que foi visto até aqui. Faça as atividades a seguir e faça a postagem no fórum dos resultados encontrados por você para discussão, bem como suas dúvidas. Não se preocupe, os exercícios não são difíceis. Vamos tentar!

1) Das frases abaixo, diga quais são proposições:

a) Feliz aniversário!

b) O céu está claro neste lugar onde estamos.

c) Não desista!

d) A Lua é feita de queijo.

e) Será que a Lua é feita de queijo?

f) Direita, volver!

2) Classifique as proposições abaixo em verdadeira ou falsa:

a) O Sol é um satélite da Terra.

b) Buenos Aires é a capital do Brasil.

c) As aranhas têm oito patas.

d) Chile é um país da América do Sul.

e) A raiz quadrada de 144 é 12.

f) Os cavalos são répteis.

3) Nos argumentos a seguir, analise as premissas e a construção do argumento e diga se são válidos ou não válidos:

a) Todos os alemães são europeus.

Nietzsche era alemão.

Logo, Nietzsche³ era europeu.

b) Todos os alemães são europeus.

O príncipe Charles não é alemão.

Logo, o príncipe Charles não é europeu.

c) Alguns brasileiros são pobres.

Alguns pobres são mendigos.

Logo, todos os brasileiros são mendigos.

d) Todos os apinagés são índios e não existem índios carecas.

Logo, nenhum apinagé é careca.

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³Influente filósofo alemão que viveu no século XIX. Para refletir:

É muito comum a associação entre o raciocínio lógico e o pensamento matemático, mas, como vimos anteriormente, as origens aristotélicas da lógica encontram-se nas estruturas da língua grega.

Podemos perceber com certa facilidade que o primeiro momento de organização do pensamento ocorre quando recorremos à língua, mesmo de forma oral.

A influência da matemática na tematização das regras ou das leis do pensamento lógico é muito relevante, mas posterior. O que pode explicar esta associação tão forte entre a lógica e a matemática é o fato que num estudo inicial da lógica admitimos a possibilidade de separação entre a forma e o conteúdo de uma argumentação. Assim:

Todo a é b e todo b é c acarreta que todo a é c, qualquer que seja o significado dos termos representados por a, b e c.

Esta separação faz com que a lógica formal se pareça mais com a amtemática do que com a língua.

Bibliografia:

MACHADO, N.J.; DA CUNHA, M.O. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, comunicação, argumentação. Coleção Tendências em Educação Matemática, Autêntica, 2005.